<p>介值定理，亦称中间值定理，是微积分学中的一块基石，它揭示了连续函数在特定区间内取值的规律，该定理指出，在一个连续函数的取值范围内，任何两个函数值之间的所有数值，都能在该函数的某个取值点找到对应的函数值，换句话说，任意两个函数值的中间值，都能够在函数的某个点处实现。

介值定理可以这样表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在该区间的两端点处取不同的函数值，即f(a) ≠ f(b)，那么对于任意一个介于f(a)和f(b)之间的数C，至少存在一个点ξ属于开区间(a, b)，使得f(ξ) = C。

介值定理不仅一个学说上的重要重点拎出来说，它在实际应用中也极为广泛，在物理学、工程学以及经济学等领域，介值定理都发挥着关键影响。

介值定理还有一些重要的推论，如博尔扎诺定理（Bolzano’s Theorem），它指出如果一个连续函数在某个区间内取值符号相反，那么该函数在该区间内必定存在至少一个零点。

在数学分析中，介值定理与导数的介值定理（也称为罗尔定理或中值定理）紧密相关，导数的介值定理进一步揭示了连续函数导数的性质，即导数在连续函数的任意两点之间，必定能取到介于这两点导数值之间的任意值。

介值定理是连续函数性质研究中的一个核心概念，它不仅丰富了我们对于连续函数的认识，也为解决实际难题提供了有力的工具。